NCERT Solutions for Class 9 Maths in Hindi Chapter 2 Polynomials (बहुपद)

NCERT Solutions for Class 9 Maths in Hindi Chapter 2 Polynomials (बहुपद)

NCERT Solutions for Class 9 Maths in Hindi

NCERT Solutions Class 9 Maths (Hindi Medium)

NCERT Solutions Class 9 Maths Chapter 2 Polynomials – Here are all the NCERT solutions for Class 9 Maths Chapter 2. This solution contains questions, answers, images, explanations of the complete Chapter 2 titled Polynomials of Maths taught in class 9. If you are a student of class 9 who is using NCERT Textbook to study Maths, then you must come across Chapter 2 Polynomials. After you have studied the lesson, you must be looking for answers of its questions. Here you can get complete NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 Polynomials in one place.
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प्रश्नावली 2.1

Ex 2.1 Class 9 गणित Q1. निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन-कौन नहीं हैं ? कारण के साथ उत्तर दीजिए :
(i) 4x2 – 3x + 7

(ii) y2 + √2
(iii)3√t + t√2
(iv) y + \(\frac { 2 }{ y }\)
(v) x10 + y3 + t50
हल:
(i) 4x2 – 3x + 7
यह एक चर में बहुपद है क्योंकि चर घात एक प्राकृत संख्या है |

(ii) y2 + √2
यह एक चर में बहुपद है क्योंकि चर घात एक प्राकृत संख्या है |

(iii)3√t + t√2
यह एक चर में बहुपद नहीं है क्योंकि चर का घात एक भिन्नात्मक संख्या है कोई प्राकृत संख्या नहीं है |

(iv) y + \(\frac { 2 }{ y }\)
यह एक चर में बहुपद नहीं है |

(v) x10 + y3 + t​50
यह एक चर में बहुपद नहीं है | बल्कि यह तीन चर में बहुपद है |

Ex 2.1 Class 9 गणित Q2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में x2 का गुणांक लिखिए |
(i) 2 + x2 + x
(ii) 2 – x2 + x3
iii) \(\frac { \pi }{ 2 }\) x2 + x
(iv) √2x −1
हल:
(i) 2 + x2 + x
x2 का गुणांक = 1

(ii) 2 – x2 + x3
x2 का गुणांक = –1 ​

(iii) \(\frac { \pi }{ 2 }\) x2 + x
x2 का गुणांक = \(\frac { \pi }{ 2 }\)

(iv) √2x −1
x2 का गुणांक = 0 [क्योंकि यहाँ x2 नहीं है इसलिए इसका गुणांक शून्य होगा |]

Ex 2.1 Class 9 गणित Q3. 35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए|
हल:
35 घात का एक द्विपदी
⇒ 2x35 + 5y ​
Note: द्विपदी का अर्थ दो पदों वाला व्यंजक जैसे – x + 5, 3a – 2b, 3t + 7 आदि.
100 घात का एक एकपदी
⇒ 3y100
Note: एकपदी का अर्थ एक पद वाला व्यंजक जैसे- 3x, 5t, y, 3xy आदि.

Ex 2.1 Class 9 गणित Q4. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक के घात लिखिए:
(i) 5x3 + 4x2 + 7x

(ii) 4 – y2
(iii) 5t – √7
(iv) 3
हल:
(i) 5x3 + 4x2 + 7x
उत्तर: बहुपद का घात = 3
[नोट: बहुत का घात ज्ञात करने के लिए सभी घातों में से सबसे बड़ी घात को चुना जाता है |]

(ii) 4 – y​2
उत्तर: बहुपद का घात = 2

(iii) 5t – √7
उत्तर: बहुपद का घात = 1

(iv) 3
उत्तर: बहुपद का घात = 0
[नोट: चूँकि यहाँ कोई चर नहीं है इसलिए बहुपद का घात शून्य (0) है |]

Ex 2.1 Class 9 गणित Q5. निम्नलिखित को रैखिक, द्विघात और त्रिघात बहुपद में वर्गीकृत कीजिए:
(i) x​2 + x
(ii) x – x3
(iii) y + y2 + 4
(iv) 1 + x
(v) 3t
(vi) r2
(vii) 7x2
हल:
(i) x​2 + x
उत्तर: द्विघात बहुपद

(ii) x – x3
उत्तर: त्रिघात बहुपद

(iii) y + y2 + 4
उत्तर: द्विघात बहुपद

(iv) 1 + x
उत्तर: रैखिक बहुपद

(v) 3t
उत्तर: रैखिक बहुपद

(vi) r2
उत्तर: द्विघात बहुपद

(vii) 7x2
उत्तर: त्रिघात बहुपद

प्रश्नावली 2.2

Ex 2.2 Class 9 गणित प्र1. निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x2 + 3 के मान ज्ञात कीजिए :
(i) x = 0
(ii) x = –1
(iii) x = 2

हल:
(i) p(x) = 5x – 4x2 + 3
बहुपद p(x) में x = 0 रखने पर
P(0) = 5(0) – 4(0)2 + 3 = 0 – 0 + 3 = 3
अत: बहुपद का मान 3 है |

(ii) p(x) = 5x – 4x2 + 3
बहुपद p(x) में x = -1 रखने पर
P(1) = 5(-1) – 4(-1)2 + 3 = – 5 – 4 + 3 = – 9 + 3 = – 6
अत: बहुपद का मान – 6 है |

(iii) p(x) = 5x – 4x2 + 3
बहुपद p(x) में x = 2 रखने पर
P(2) = 5(2) – 4(2)2 + 3 = 10 -16 + 3 = – 3
अत: बहुपद का मान – 3 है |

Ex 2.2 Class 9 गणित Q2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक के लिए p(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए|
(i) p(y) = y2 – y + 1
(ii) p(t) = 2 + t + 2t 2 – t 3
(iii) p(x) = x3
(iv) p(x) = (x – 1) (x + 1)
हल:
(i) p(y) = y2 – y + 1
P(0) के लिए
P(0) = (0)2– 0 + 1 = 1
P(1) के लिए
P(1) = (1)2– 1 + 1
= 1 – 1 + 1 = 1
P(2) के लिए
P(2) = (2)2– 2 + 1
= 4 – 2 + 1 = 3

(ii) p(t) = 2 + t + 2t2– t3
P(0) के लिए
P(0) = 2 + 0 + 2(0)2– (0)3 = 2
P(1) के लिए
P(1) = 2 + 1 + 2(1)2 – (1)3 = 4

P(2) के लिए
P(2) = 2 + 2 + 2(2)2– (2)3
= 4 + 8 – 8 = 4

(iii) p(x) = x3
P(0) के लिए
P(0) = (0)3 = 0
P(1) के लिए
P(1) = (1)3 = 1
P(2) के लिए
P(2) = (2)3 = 8

(iv) P(x) = (x – 1) (x + 1)
P(0) के लिए
P(0) = (0 – 1) (0 + 1) = (-1) (1) = -1
P(1) के लिए
P(1) = (1 – 1) (1 + 1) = 0 (1) = 0
P(2) के लिए
P(2) = (2 – 1) (2 + 1) = 1(3) = 3

Ex 2.2 Class 9 गणित Q3. सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शुन्यक हैं :
NCERT Solutions For Class 9 Maths Polynomials Hindi Medium 2.2 3
हल:
(i) P(x) = 3x + 1
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p(x) = 0, अत: दिया गया x का मान बहुपद का शुन्यक है |
(ii) P(x) = 5x – π
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= 5 – π
∵ ​P(x) ≠ 0
∴ x के लिए दिया गया मान P(x) का शुन्यक नहीं है|

(iii) P(x) = x2 – 1
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Ex 2.2 Class 9 गणित Q4. निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति मेंबहुपद का शुन्यक ज्ञात कीजिए :
(i) P(x) = x + 5
(ii) P(x) = x – 5
(iii) Px) = 2x + 5
(iv) P(x) = 3x – 2
(v) P(x) = 3x
(vi) P(x) = ax, a ≠ 0
हल (i) :
(i) P(x) = x + 5
⇒ x + 5 = 0
⇒ x = – 5
बहुपद का शुन्यक – 5 हैं |

हल (ii) :
(ii) P(x) = x – 5
⇒ x – 5 = 0
⇒ x = 5
बहुपद का शुन्यक 5 है|

Maths NCERT Solutions Class 9 Polynomials Hindi Medium 2.2 4
बहुपद का शुन्यक \(\frac { -5 }{ 2 }\) है |

(iv) P(x) = 3x – 2
3x – 2 = 0 ≠
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बहुपद का शुन्यक \(\frac { 2 }{ 3 }\) है |
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प्रश्नावली 2.3

Ex 2.3 Class 9 गणित Q1. x3 + 3x2 + 3x + 1 को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) x + 1
(ii) x – \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(iii) x
(iv) x + θ
(v) 5 + 2x
हल : (i) x3 + 3x2 + 3x + 1 को x + 1 से भाग देने पर
Polynomials Maths Solutions For Class 9 NCERT Hindi Medium 2.3 1
अत: भाग देने पर शेषफल 0 है|

Polynomials Solutions For Maths NCERT Class 9 Hindi Medium 2.3 1.1

हल : (iii) x3 + 3x2 + 3x + 1 को x से भाग देने पर
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अत: भाग देने पर शेषफल 1 है|

हल : (iv) x3 + 3x2 + 3x + 1 को x + π से भाग देने पर
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अत: भाग देने पर शेषफल π3 + 3π2 – 3π + 1 है|
हल : (v) x3 + 3x2 + 3x + 1 को 5 + 2x से भाग देने पर
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Ex 2.3 Class 9 गणित Q2. x3 ax2 + 6x a को x a से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए |
हल : p(x) = x3 – ax2 + 6x – a और g(x) = x – a है |
g(x) = x – a का शुन्यक
अत: x – a = 0
x = a
अत: शेषफल प्रमेय से
p(x) को x – a से भाग देने पर शेषफल प्रमेय द्वारा शेषफल p(a) प्राप्त होगा |
इसलिए, p(a) = (a)3 – a(a)2 + 6(a) – a
= a3 – a3 + 6a – a = 5a
अत: शेषफल 5a है |

Class 9 NCERT Solutions Maths Polynomials Hindi Medium 2.3 3

प्रश्नावली 2.4

Ex 2.4 Class 9 गणित Q1. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x + 1 है|
(i) x3 + x2 + x + 1
(ii) x4 + x3 + x2 + x + 1
(iii) x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
(iv) x3 – x3 – (2 + √2)x + √2
हल : (i) p(x) = x3 + x2 + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x3 + x2 + x + 1
p(-1) = (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1
= – 1 + 1 – 1 + 1 = 0
चूँकि p(-1) = 0 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक है और x + 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

हल : (ii) p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
p(-1) = (-1)4 + (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1
= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 = 1
चूँकि p(-1) = 1 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है इसलिए गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |

हल : (iii) p(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
p(-1) = (-1)4 + 3(-1)3 + 3(-1)2 + (-1) + 1
= 1 – 3 + 3 – 1 + 1 = 1
चूँकि p(-1) = 1 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |
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9th Class Maths NCERT Polynomials Hindi Medium Solutions 2.4 1.1

Ex 2.4 Class 9 गणित Q2. गुणनखंड प्रमेय लागु करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं :
(i) p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1, g(x) = x + 1
(ii) p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 2
(iii) p(x) = x3 – 4x2 + x + 6, g(x) = x – 3
हल : (i) p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1, g(x) = x + 1
g(x) का शुन्यक
⇒ x + 1 = 0
अत: x = – 1
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(-1) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1 दिया है |
अब, p(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 – 2(-1) – 1
= 2 (-1) + 1 + 2 – 1 = – 2 + 1 + 2 – 1 = 0
चूँकि p(-1) = 0 है इसलिए -1 p(x) का एक शुन्यक है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

हल : (ii) p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 2
g(x) का शुन्यक
⇒ x + 2 = 0
अत: x = – 2
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(-2) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 दिया है |
अब, p(-2) = (-2)3 + 3(-2)2 + 3(-2) + 1
= -8 + 12 – 6 + 1 = 13 – 14 = – 1
चूँकि p(-2) = – 1 है इसलिए -2 p(x) का एक शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 2 p(x) का एक गुणनखंड भी नहीं है |

हल : (iii) p(x) = x3 – 4x2 + x + 6, g(x) = x – 3
g(x) का शुन्यक
⇒ x – 3 = 0
अत: x = 3
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(3) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = x3 – 4x2 + x + 6 दिया है |
अब, p(3) = (3)3 – 4(3)2 + 3 + 6
= 27 – 36 + 3 + 6 = 36 – 36 = 0
चूँकि p(3) = 0 है इसलिए 3 p(x) का एक शुन्यक है अत: गुणनखंड प्रमेय से x – 3 p(x) का एक गुणनखंड है |

Ex 2.4 Class 9 गणित Q3. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x – 1), p(x) का एक गुणनखंड हो :
(i) p(x) = x2 + x + k
(ii) p(x) = 2x2 + kx + √2
(iii) p(x) = kx2 – √2x + 1
(iv) p(x) = kx2 – 3x + k
हल : (i) p(x) = x2 + x + k
x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x – 1 = 0 => x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = x2 + x + k = 0
p(1) = (1)2 + (1) + k = 0
1 + 1 + k = 0
2 + k = 0
k = – 2

हल : (ii) p(x) = 2x2 + kx + √2
चूँकि x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है|
इसलिए x – 1 = 0
⇒ x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = 2x2 + kx + √2 = 0
p(1) = 2(1)2 + k(1) + √2 = 0
2 + k + √2 = 0
k = – 2 – √2
k = – (2 + √2)

हल : (iii) p(x) = kx2 – √2x + 1
चूँकि x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x – 1 = 0 => x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = kx2 – √2x + 1 = 0
p(1) = k(1)2 – √2(1) + 1 = 0
k – √2 + 1 = 0
k = √2 – 1

हल : (iv) p(x) = kx2 – 3x + k
चूँकि x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x – 1 = 0
⇒ x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = kx2 – 3x + k = 0
p(1) = k(1)2 – 3(1) + k = 0
k – 3 + k = 0
2k – 3 = 0
2k = 3
k = 3/2

Ex 2.4 Class 9 गणित Q4. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) 12x2 – 7x + 1
(ii) 2x2 + 7x + 3
(iii) 6x2 + 5x – 6
(iv) 3x2 – x – 4
हल : (i) 12x2 – 7x + 1
⇒ 12x2 – 3x – 4x + 1
⇒ 3x(4x – 1) – 1(4x – 1)
⇒ (4x – 1) (3x – 1)

हल : (ii) 2x2 + 7x + 3
⇒ 2x2 + 6x + x + 3
⇒ 2x(x + 3) + 1(x + 3)
⇒ (x + 3) (2x + 1)

हल : (iii) 6x2 + 5x – 6
⇒ 6x2 + 9x – 4x – 6
⇒ 3x(2x + 3) – 2(2x + 3)
⇒ (2x + 3) (3x – 2)

हल : (iv) 3x2 – x – 4
⇒ 3x2 – 4x + 3x – 4
⇒ x(3x – 4) + 1(3x – 4)
⇒ (3x – 4) (x + 1)

Ex 2.4 Class 9 गणित Q5. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) x3 – 2x2 – x + 2
(ii) x3 – 3x2 – 9x – 5
(iii) x3 + 13x2 + 32x + 20
(iv) 2y3 + y2 – 2y – 1
हल : (i) x3 – 2x2 – x + 2
बहुपद का संभावित शुन्यक हैं – ±1 और ±2
अत: बहुपद x3 – 2x2 – x + 2 में x = 1 रखने पर
p(x) = (1)3 – 2(1)2 – (1) + 2
= 1 – 2 – 1 + 2 = 0
चूँकि p(x) = 0 है, अत: 1 p(x) का शुन्यक है इसलिए x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

पहली विधि : x – 1 से x3 – 2x2 – x + 2 में भाग देने पर
CBSE Class 9 Maths Polynomials Hindi Medium Solutions 2.4 5
अत: x3 – 2x2 – x + 2 = (x – 1) (x2 – x – 2) [चूँकि p(x) = g(x) × q(x) ]
= (x – 1) (x2 – 2x + x – 2)
= (x – 1) [x(x – 2) + 1(x – 2)]
= (x – 1) (x – 2) (x + 1)

नोट: चूँकि यह त्रिघात बहुपद है इसलिए इसके तीन शुन्यक होंगे और तीन गुणनखंड होंगे |

दूसरी विधि : हम यहाँ पर x – 1 से भाग की लंबी प्रक्रिया न अपनाकर गुणनखंड विधि से अन्य गुणनखंड प्राप्त कर सकते हैं | चूँकि एक गुणनखंड x – 1 प्राप्त है|
x3 – 2x2 – x + 2 = x2(x -1) – x2 – x + 2
= x2(x -1) – x(x – 1) – 2x + 2
= x2(x -1) – x(x – 1) – 2(x – 1)
= (x – 1) (x2 – x – 2)
= (x – 1) (x2 – 2x + x – 2)
= (x – 1) [x(x – 2) + 1(x – 2)]
= (x – 1) (x – 2) (x + 1)

तीसरी विधि : हमें बहुपद का संभावित शुन्यक ±1 और ±2 ज्ञात है :
p(x) में x = 1, – 1, 2 और – 2 रखने पर
p(1) = 0 है | अत: x – 1 एक गुणनखंड है |

अब p(-1) = x3 – 2x2 – x + 2
= (-1)3 – 2(-1)2 -(-1) + 2
= -1 – 2 + 1 + 2 = 0
अत: p(-1) = 0 है अत: x + 1 एक गुणनखंड है |

अब p(2) = x3 – 2x2 – x + 2
= (2)3 – 2(2)2 -(2) + 2
= 8 – 8 – 2 + 2
= 0
p(2) = 0 है अत: x – 2 p(x) का एक गुणनखंड है |

अब p(-2) = x3 – 2x2 – x + 2
= (-2)3 – 2(-2)2 -(-2) + 2
= -8 – 8 + 2 + 2
= -16 + 4 = -12
p(-2) ≠ 0 अत: – 2 p(x) का शुन्यक नहीं है |
अत: x3 – 2x2 – x + 2 के गुणनखंड है (x – 1) (x + 1) (x – 2)

हल : (ii) x3 – 3x2 – 9x – 5
बहुपद का संभावित शुन्यक ± 1 और ±5 है |
बहुपद में x = -1 रखने पर
p(-1) = x3 – 3x2 – 9x – 5
= (-1)3 – 3(-1)2 – 9(-1) – 5
= -1 – 3 + 9 – 5 = 9 – 9 = 0
अत: x = -1 p(x) का शुन्यक है इसलिए x + 1 एक गुणनखंड है |
x3 – 3x2 – 9x – 5 = x2(x + 1) – 4x2 – 9x – 5
= x2(x + 1) – 4x(x + 1) – 5x – 5
= x2(x + 1) – 4x(x + 1) – 5(x + 1)
= (x + 1) (x2 – 4x – 5)
= (x + 1) (x2 – 5x + x – 5)
= (x + 1) [x(x – 5) +1(x – 5)]
= (x + 1) (x – 5) (x + 1)
अत: त्रिघात बहुपद के गुणनखंड (x + 1), (x – 5) और (x + 1) है |

हल : (iii) x3 + 13x2 + 32x + 20
बहुपद का संभावित शुन्यक ±1, ±2, ±4, ±5, ±10 और ±20 हैं |
बहुपद में x = – 1 रखने पर
p(x) = x3 + 13x2 + 32x + 20
= (-1)3 + 13(-1)2 + 32(-1) + 20
= -1 + 13 – 32 + 20 = 33 – 33 = 0
चूँकि p(-1) = 0 है अत: x + 1 बहुपद का एक गुणनखंड है |
x3 + 13x2 + 32x + 20 = x2(x + 1) + 12x2 + 32x + 20
= x2(x + 1) + 12x(x + 1) + 20x + 20
= x2(x + 1) + 12x(x + 1) + 20(x + 1)
= (x + 1) (x2 + 12x + 20)
= (x + 1) (x2 + 10x + 2x + 20)
= (x + 1) [(x(x + 10) + 2(x + 10)]
= (x + 1) (x + 10) (x + 2)
अत: त्रिघात बहुपद के गुणनखंड (x + 1), (x + 10) और (x + 2) है|

हल : (iv) 2y3 + y2 – 2y – 1
= y2(2y + 1) -1(2y + 1)
= (y2 – 1) (2y + 1)
= (y + 1) ( y – 1) (2y + 1)
बहुपद के गुणनखंड (y + 1), ( y – 1) और (2y + 1)हैं |

उपयोगी बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ:

  1. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
  2. (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
  3. x2 – y2 = (x + y) (x – y)
  4. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
  5. (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
  6. (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
  7. x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
  8. x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)
  9. (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
  10. x3 + y3 + z3 – 3xyz = ( x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)

प्रश्नावली 2.5

Ex 2.5 Class 9 गणित Q1. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए:
(i) (x + 4) (x + 10)
(ii) (x + 8) (x – 10)
(iii) (3x + 4) (3x – 5)
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 1
(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
हल:
(i) (x + 4) (x + 10)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(x + 4) (x + 10) = x2 + (4 + 10)x + (4)(10)
= x2 + 14x + 40

(ii) (x + 8) (x – 10)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(x + 8) (x – 10) = x2 + [8 + (-10)]x + (8)(-10)
= x2 – 2x – 80

(iii) (3x + 4) (3x – 5)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(3x + 4) (3x – 5) = (3x)2 + [4 + (-5)]3x + (4)(-5)
= 9x2 – 3x – 20
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 1.1
सर्वसमिका (x + y) (x – y) = x2 – y2 का प्रयोग करने पर
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 1.2

(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
सर्वसमिका (x + y) (x – y) = x2 – y2 का प्रयोग करने पर ​
(3 – 2x) (3 + 2x) = (3)2 – (2x)2
= 9 – 4x2

Ex 2.5 Class 9 गणित Q2. सीधे गुना किये बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 103 × 107
(ii) 95 × 96
(iii) 104 × 96
हल:
(i) 103 × 107 = (100 + 3) (100 + 7)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(100 + 3) (100 + 7) = (100)2​ + (3 + 7)100 + 3×7
=10000 + 1000 + 21 = 11021

(ii) 95 × 96 = (90 + 5) (90 + 6)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(90 + 5) (90 + 6) = (90)2​ + (5 + 6)90 + 5×6
= 8100 + 990 + 30 = 9120

(iii) 104 × 96 = (100 + 4) (100 – 4)
सर्वसमिका (x + y) (x – y) = x2 – y2 का प्रयोग करने पर ​
(100)2 – (4)2
= 10000 – 16 = 9984

Ex 2.5 Class 9 गणित 3. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए:
(i) 9x2 + 6xy + y2
(ii) 4y2 – 4y + 1
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 3.1
हल:
(i) 9x2 + 6xy + y2
= (3x)2 + 2.3x.y + (y)2 [ ∵ x2 + 2xy + y2 = (x + y)2]
∴ = (3x + y)2
= (3x + y) (3x + y)

(ii) 4y2 – 4y + 1
= (2y)2 – 2.2y.1 + (1)2 [ ∵ x2 – 2xy + y2 = (x – y)2]
∴ = (2y – 1)2
= (2y – 1) (2y – 1)
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 3
NCERT Solutions For Class 9 Maths Polynomials Hindi Medium 2.5 3.2
[ ∵ x2 – y2 = (x + y) (x – y) ​]

Ex 2.5 Class 9 गणित Q4. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए:
(i) (x + 2y + 4z)2
(ii) (2x – y + z)2
(iii) (–2x + 3y + 2z)2
(iv) (3a – 7b – c)2
(v) (–2x + 5y – 3z)2
हल:
(i) (x + 2y + 4z)2
यहाँ माना कि a = x, b = 2y, c = 4z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (x + 2y + 4z)2 = (x)2 + (2y)2 + (4z)2 + 2(x)(2y) + 2(2y)(4z) + 2(4z)(x)
= x2 + 4y2 + 16z2 + 4xy + 16yz + 8zx

(ii) (2x – y + z)2
यहाँ माना कि a = 2x, b = – y, c = z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (2x – y + z)2 = (2x)2 + (- y)2 + (z)2 + 2(2x)(- y) + 2(- y)(z) + 2(z)(2x)
= 4x2 + y2 + z2 – 4xy – 2yz + 4zx

(iii) (–2x + 3y + 2z)2
यहाँ माना कि a = – 2x, b = 3y, c = 2z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (-2x + 3y + 2z)2
= (-2x)2 + (3y)2 + (2z)2 + 2(-2x)(3y) + 2(3y)(2z) + 2(2z)(-2x)
= 4x2 + 9y2 + 4z2 – 12xy + 12yz – 8zx

(iv) (3a – 7b – c)2
यहाँ माना कि x = 3a, y = -7b, z = -c और x, y तथा z का मान सर्वसमिका
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zxमें रखने पर
∴ (3a – 7b – c)2
= (3a)2 + (-7b)2 + (-c)2 + 2(3a)(-7b) + 2(-7b)(-c) + 2(-c)(3a)
= 9a2 + 49b2 + c2 – 42ab + 14bc – 6ac

(v) (-2x + 5y – 3z)2
यहाँ माना कि a = – 2x, b = 5y, c = -3z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (-2x + 5y – 3z)2
= (-2x)2 + (5y)2 + (-3z)2 + 2(-2x)(5y) + 2(5y)(-3z) + 2(-3z)(-2x)
= 4x2 + 25y2 + 9z2 – 20xy – 30yz + 12zx

Ex 2.5 Class 9 गणित Q5. गुणनखंड कीजिए:
(i) 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy – 24yz – 16xz

हल:
(i) 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy – 24yz – 16xz
= (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x)(3y) + 2(3y)(4z) + 2(4z)(2x)
[∵ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)2 ]
= (2x + 3y + 4z)2
= (2x + 3y + 4z) (2x + 3y + 4z)
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 5
Maths NCERT Solutions Class 9 Polynomials Hindi Medium 2.5 5.1

Ex 2.5 Class 9 गणित Q6. निम्नलिखित घनों को विस्तारित रूप में लिखिए :
(i) (2x + 1)3

(ii) (2a – 3b)3
Class 9 Maths NCERT Polynomials Solutions Hindi Medium 2.5 6
NCERT Maths Solutions For Class 9 Polynomials Hindi Medium 2.5 6.1
हल:
(i) (2x + 1)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3]
(2x + 1)3 = (2x)3 + 3 (2x)2 (1) + 3 (2x) (1)2 + (1)3
= 8x3 + 12x2 + 6x + 1

(ii) (2a – 3b)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3]
(2a – 3b)3 = (2a)3 – 3 (2a)2 (3b) + 3(2a) (3b)2 – (3b)3
= 8a3 – 36a2b + 54ab2 – 27b3
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 6.2
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3]
NCERT Class 9 Maths Hindi Medium Polynomials Solutions 2.5 6.3
NCERT Maths Class 9 Hindi Medium Polynomials Solutions 2.5 6.4
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3]
NCERT Solutions For Maths Class 9 Polynomials Hindi Medium 2.5 6.5

Ex 2.5 Class 9 गणित Q7. उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग कर निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए :
(i) (99)3
(ii) (102)3
(iii) (998)3
हल :
(i) (99)3
= (100 – 1)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3]
(100 – 1)3 = (100)3 – 3(100)2(1) + 3(100)(1)2 – (1)3
= 1000000 – 30000 + 300 – 1 = 1000300 – 30001 = 970299

(ii) (102)3
= (100 + 2)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3]
(100 + 2)3 = (100)3 + 3 (100)2 (2)+ 3 (100) (2)2 + (2)3
= 1000000 + 60000 + 1200 + 8 = 1061208

(iii) (998)3
= (1000 – 2)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3]
(1000 – 2)3 = (1000)3 – 3 (1000)2 (2)+ 3(1000) (2)2 – (2)3
= 1000000000 – 6000000 + 12000 – 8
= 1000012000 – 6000008
= 994011992

Ex 2.5 Class 9 गणित Q8. निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए :
(i) 8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2
(ii) 8a2 – b2 – 12a2b + 6ab2
(iii) 27 – 125a3 – 135a + 225a2
(iv) 64a3 – 27b3 – 144a2b + 108ab2
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 8.1
हल:
(i) 8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2
= (2a)3 +(b)3 + 3(2a)2(b) + 3(2a)(b)2
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 + y3 + 3x2y + 3xy2 = (x + y)3 ]
= (2a)3 +(b)3 + 3(2a)2(b) + 3(2a)(b)2 = (2a + b)3
= (2a + b)(2a + b)(2a + b)

(ii) 8a2 – b2 – 12a2b + 6ab2
= (2a)3 – (b)3 – 3(2a)2(b) + 3(2a)(b)2
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 – y3 – 3x2y + 3xy2 = (x – y)3 ]
= (2a)3 – (b)3 – 3(2a)2(b) + 3(2a)(b)2 = (2a – b)3
= (2a – b)(2a – b)(2a – b)

(iii) 27 – 125a3 – 135a + 225a2
= (3)3 – (5a)3 – 3(3)2(5a) + 3(3)(5a)2
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 – y3 – 3x2y + 3xy2 = (x – y)3 ]
= (3)3 – (5a)3 – 3(3)2(5a) + 3(3)(5a)2= (3 – 5a)3
= (3 – 5a)(3 – 5a)(3 – 5a)

(iv) 64a3 – 27b3 – 144a2b + 108ab2
= (4a)3 – (3b)3 – 3(4a)2(3b) + 3(4a)(3b)2
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 – y3 – 3x2y + 3xy2 = (x – y)3 ]
= (4a)3 – (3b)3 – 3(4a)2(3b) + 3(4a)(3b)2 = (4a – 3b)3
= (4a – 3b)(4a – 3b)(4a – 3b)
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 – y3 – 3x2y + 3xy2 = (x – y)3 ]
Maths NCERT Solutions Class 9 Polynomials Hindi Medium 2.5 8.2

Ex 2.5 Class 9 गणित Q9. सत्यापित कीजिए :
(i) x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
हल :
RHS = (x + y) (x2 – xy + y2)
= x(x2 – xy + y2) + y (x2 – xy + y2)
= x3 – x2y + xy2 + x2y – xy2 + y3
Maths NCERT Class 9 Solutions Polynomials Hindi Medium 2.5 8.2
= x3 + y3
∵ LHS = RHS सत्यापित

(ii) x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)
हल :
RHS = (x – y) (x2 + xy + y2)
x(x2 + xy + y2) – y (x2 + xy + y2)
= x3 + x2y + xy2 – x2y – xy2 – y3
Maths Class 9 NCERT Solutions Hindi Medium 2.5 8.4
= x3 – y3
∵ LHS = RHS सत्यापित |

Ex 2.5 Class 9 गणित Q10. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
(i) 27y3 + 125z3
(ii) 64m3 – 343n3
हल :
(i) 27y3 + 125z3
= (3y)3 + (5z)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2) ]
(3y)3 + (5z)3​ = (3y + 5y) [(3y)2 – (3y)(5z) + (5z)2]
= (3y + 5y) (9y2 – 15yz + 25z2)

(ii) 64m3 – 343n3
हल :
(ii) 64m3 – 343n3
= (4m)3 – (7n)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2) ]
(4m)3 – (7n)3​ = (4m – 7n) [(4m)2 + (4m)(7n) + (7n)2]
= (4m – 7n) (16m2 + 28mn + 49n​2)

Ex 2.5 Class 9 गणित Q11. गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए : 27x3 + y3 + z3 – 9xyz
हल :
= (3x)3 + (y)3 + (z)3 – 9xyz
∵ x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z) (x2 + y2 + z​2 – xy – yz – zx)
सर्वसमिका के प्रयोग से :
= (3x + y + z) ((3x)2 + (y)2 + (z)2 – (3x)(y) – (y)(z) – (z)(3x))
= (3x + y + z) (9x2 + y2 + z2 – 3xy – yz – 3zx)

Ex 2.5 Class 9 गणित Q12. सत्यापित कीजिए:
x3 + y3 + z3 – 3xyz = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (x + y + z) [(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2]
हल :
LHS = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (x + y + z) [x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2xz + x2]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (x + y + z) (2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2xz)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 2(x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – yz – xz)
= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – xz)
= x3 + y3 + z3 – 3xyz [सर्वसमिका के प्रयोग से ]
LHS = RHS

Ex 2.5 Class 9 गणित Q13. यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x3 + y3 + z3 = 3xyz है | ​
हल : x + y + z = 0 दिया है |
x3 + y3 + z3 – 3xyz = ( x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
= (0) (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) = 0
अत: x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0
या x3 + y3 + z3 = 3xyz सत्यापित

Ex 2.5 Class 9 गणित Q14. वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए :
(i) (-12)3 + (7)3 + (5)3
(ii) (28)3 + (-15)3 + (-13)3
हल : (i) (-12)3 + (7)3 + (5)3

प्रश्न 13. में हमने एक सर्वसमीका प्राप्त किया था कि यदि x + y + z = 0 हो तो
x3 + y3 + z3 = 3xyz है |
अत: इस सर्वसमिका में x = -12, y = 7 और z = 5 रखने पर
चूँकि – 12 + 7 + 5 => -12 + 12 = 0
अत: x + y + z = 0 है |
अब, x3 + y3 + z3 = 3xyz [x, y, और z का मान रखने पर ]
=> (-12)3 + (7)3 + (5)3 = 3 × (-12) × 7 × 5
= – 1260

हल : (ii) (28)3 + (–15)3 + (–13)3
28 + (-15) + (-13) = 28 – 28 = 0
चूँकि x + y + z = 0 है |
इसलिए x3 + y3 + z3 = 3xyz
अब, (28)3 + (–15)3 + (–13)3​ = 3 × 28 × (-15) × (-13)
= 133380

Ex 2.5 Class 9 गणित Q15. नीचे दिए गए आयातों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए है, में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिये |
(i) क्षेत्रफल : 25a2 – 35a + 12
(ii) क्षेत्रफल : 35y2 + 13y – 12
हल : (i) क्षेत्रफल : 25a2 – 35a + 12
क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
अत: 25a2 – 35a + 12 के दो गुणनखंड होंगे जिसमें एक लंबाई होगा और दूसरा चौड़ाई होगा |
गुणनखंड करने पर :
25a2 – 35a + 12 = 25a2 + 15a + 20a + 12
= 5a(5a + 3) + 4(5a + 3)
= (5a + 3) (5a + 4)
चूँकि (5a + 3) < (5a + 4) है |
अत: लंबाई = 5a + 4 और चौड़ाई = 5a + 3

हल : (ii) क्षेत्रफल : 35y2 + 13y – 12
गुणनखंड करने पर
35y2 + 13y – 12 ​= 35y2​ + 28y – 15y – 12
= 7y(5y + 4) – 3(5y + 4)
= (5y + 4) (7y – 3)
अत: लंबाई = 5y + 4 और चौड़ाई = 7y – 3

Ex 2.5 Class 9 गणित Q16. घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं कि, विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं ?
(i) आयतन : 3x3 – 12x
(ii) आयतन : 12ky2 + 8ky – 20k
हल : (i) आयतन : 3x3 – 12x
गुणनखंड करने पर
आयतन = 3x3 – 12x = 3x(x – 4)
चूँकि आयतन = L × B × H
अत: L = 3, B = x और H = x – 4

हल : (ii) आयतन : 12ky2 + 8ky – 20k
आयतन = 12ky2 + 8ky – 20k
= 4k (3y2 + 2y – 5)
= 4k (3y2 + 5y – 3y – 5)
= 4k [y (3y + 5) – 1(3y + 5)]
= 4k (3y + 5) (y – 1)
चूँकि आयतन = L × B × H
अत: L = 4k, B = (3y + 5) और H = (y – 1)

Chapter 1 Number System (संख्या पद्धति)
Chapter 2 Polynomials (बहुपद)
Chapter 3 Coordinate Geometry (निर्देशांक ज्यामिति)
Chapter 4 Linear Equations in Two Variables (दो चरों वाले रैखिक समीकरण)
Chapter 5 Introduction to Euclids Geometry (यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय)
Chapter 6 Lines and Angles (रेखाएँ और कोण)
Chapter 7 Triangles (त्रिभुज)
Chapter 8 Quadrilaterals (चतुर्भुज)
Chapter 9 Areas of Parallelograms and Triangles (समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल)
Chapter 10 Circles (वृत)
Chapter 11 Constructions (रचनाएँ)
Chapter 12 Heron’s Formula (हीरोन का सूत्र)
Chapter 13 Surface Areas and Volumes (पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन)
Chapter 14 Statistics (सांख्यिकी)
Chapter 15 Probability (प्रायिकता)

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