NCERT Solutions for Class 9 Maths in Hindi Chapter 6 Lines and Angles (रेखाएँ और कोण)

NCERT Solutions for Class 9 Maths in Hindi Chapter 6 Lines and Angles (रेखाएँ और कोण)

NCERT Solutions Class 9 Maths (Hindi Medium)

NCERT Solutions Class 9 Maths Chapter 6 Lines and Angles – Here are all the NCERT solutions for Class 9 Maths Chapter 6. This solution contains questions, answers, images, explanations of the complete Chapter 6 titled Lines and Angles of Maths taught in class 9. If you are a student of class 9 who is using NCERT Textbook to study Maths, then you must come across Chapter 6 Lines and Angles. After you have studied lesson, you must be looking for answers of its questions. Here you can get complete NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 Lines and Angles in one place.

यहाँ हम आप के लिए लाये है हिंदी में एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित पुस्तक के अध्याय 6 रेखाएँ और कोण का पूर्ण समाधान | कक्षा 9 के लिए ये एनसीईआरटी समाधान हिंदी माध्यम में पढ़ रहे छात्रों के लिए बहुत उपयोगी हैं।

प्रश्नावली 6.1

Ex 6.1 Class 9 गणित Q1. आकृति. 6.13 में, रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं | यदि ∠AOC + ∠ BOE = 70° है और ∠BOD = 40° है तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए |
हल:

∠BOD = 40°
∠AOC = ∠BOD (शीर्षाभिमुख कोण)
∠AOC = 40°
∠AOC + ∠ BOE = 70° (दिया है)
∠BOE = 70°
∠BOE = 70° – 40°
∠BOE = 30°
चूँकि, AOB एक सरल रेखा है |
इसलिए, ∠AOC + ∠COE +∠BOE = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 70° + ∠COE = 180°
⇒ ∠COE = 180° – 70°
⇒ ∠COE = 110°
प्रतिवर्ती ∠COE = 360 – 110° = 250°

Ex 6.1 Class 9 गणित Q2. आकृति 6.14 में, रेखाएँ XY और MN बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं | यदि ∠POY = 90° और a : b= 2 : 3 है तो c ज्ञात कीजिए |
हल :

∠POY=90° (दिया है)
माना ∠a और ∠b = 2x और 3x है |
चूँकि, XOY एक सरल रेखा है |
इसलिए, ∠a + ∠b + ∠POY = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 2x + 3x + 90°= 180°
⇒ 5x = 180° ­­- 90°
⇒ 5x = 90°
⇒ x = 18°
अब, ∠a = 2 x 18° = 36°
∠b =3 x 18° = 54°
यहाँ, MON भी एक सरल रेखा है |
∠b + ∠c = 180°(रैखिक युग्म)
∠54° + ∠c = 180°
⇒ ∠c = 180° – 54° = 126°

Ex 6.1 Class 9 गणित Q3. आकृति 6.15 में, ∠PQR = ∠PRQ है, सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है |
हल :
दिया है : ∠PQR = ∠PRQ
सिद्ध करना है : ∠PQS = ∠PRT
प्रमाण :
∠PQS + ∠PQR = 180° ………. (1) रैखिक युग्म
∠PRT + ∠PRQ = 180° ………. (2) रैखिक युग्म
समीकरण (1) तथा (2) से
∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PRQ
Or, ∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PQR (∠PQR = ∠PRQ दिया है)

Or, ∠PQS = ∠PRT सिद्ध हुआ |

Ex 6.1 Class 9 गणित Q4. आकृति 6.16 में, यदि x + y = w + y है, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक सरल रेखा है|

दिया है : x + y = w + z
सिद्ध करना है : AOB एक सरल रेखा है |
प्रमाण : x + y + w + z = 360^०
अथवा x + y + x + y = 360^०
⇒ 2x + 2y = 360^०
⇒ 2 (x + y) = 360^०
⇒ x + y = 180^० (रैखिक युग्म)
जब कोई संलग्न दो कोणों का योग 180^० होता है तो रेखा सीधी एवं सरल होती है |
अत: AOB एक सरल रेखा है|
Hence Proved.

Ex 6.1 Class 9 गणित Q5. आकृति 6.17 में, POQ एक रेखा है | किरण OR रेखा PQ पर लम्ब है | किरणों OP और OR के बीच में OS एक अन्य किरण है | सिद्ध कीजिए:


हल:
दिया है : ​POQ एक रेखा है और OR ⊥ PQ तथा OS ∠POR के बीच एक किरण है |
सिद्ध करना है :

प्रमाण : ∠ROQ = 90^० ( दिया है )
अब, ∠POR + ∠ROQ = 180^० [रैखिक युग्म]
या ∠POR + 90^० = 180^०
या ∠POR = 180^० – 90^०
या ∠POR = 90^०
∠ROS = ∠POR – ∠POS ………. (1)
और
∠ROS = ∠QOS – ∠ROQ ……… (2)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
∠ROS + ∠ROS = ∠QOS – ∠ROQ + ∠POR – ∠POS
अथवा 2∠ROS = ∠QOS – 90^० + 90^० – ∠POS
अथवा 2∠ROS = ∠QOS – ∠POS

Proved.

Ex 6.1 Class 9 गणित Q6. यह दिया है कि ∠ XYZ = 64° है और XY को बिंदु P तक बढाया गया है | दी हुई सुचना से एक आकृति खींचिए | यदि किरण YQ, ∠ ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠ XYQ और प्रतिवर्ती ∠ QYP के मान ज्ञात कीजिए |
हल :

∠ XYZ = 64°
YQ, ∠ ZYP को समद्विभाजित करती है;
इसलिए
∠ QYP = ∠ ZYQ ………… (1)
XY को बिंदु P तक बढाया गया है |
∴ XYP एक सरल रेखा है |
अत: ∠ XYZ + ∠ QYP + ∠ ZYQ = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 64° + ∠ QYP + ∠ QYP = 180°
⇒ 2∠ QYP = 180° – 64°
⇒ 2∠ QYP = 116°
⇒ ∠ QYP = 58°
⇒ ∠ QYP = ∠ ZYQ = 58°
⇒ ∠ XYQ = ∠XYZ + ∠ ZYQ = 64° + 58° = 122°
प्रतिवर्ती ∠ QYP = 360° – 58° = 302°

प्रश्नावली 6.2

Ex 6.2 Class 9 गणित Q1. आकृति 6.28 में, x और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB || CD है।
हल :

x + 50° = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ x = 180° – 50°
⇒ x = 130°
y = 130°
x = y = 130° (एकांतर कोण गुणधर्म से )
AB || CD

Ex 6.2 Class 9 गणित Q2. आकृति 6.29 में, यदि AB || CD, CD || EF और y : z = 3 : 7 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए |

हल :
AB || CD …….. (1) दिया है ;
CD || EF …….. (2) दिया है ;
समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि
AB || EF ……….(3)
∴ x = z …….. (4) एकांतर कोण
अब, y = 3k तथा z = 7k माना
AB || CD दिया है;
∴ x + y = 180° (एक ही ओर के अंत: कोणों का योग )
अथवा z + y = 180°
⇒ 7k + 3k = 180°
⇒ 10k = 180°
⇒ k = 18°
चूँकि x = z समी० (4) से
∴ x = 7k = 7 × 18° = 126°

Ex 6.2 Class 9 गणित Q3. आकृति 6.30 में, यदि AB || CD, EF ⊥ CD और ∠ GED = 126° है,तो ∠ AGE, ∠GEF और ∠ FGE ज्ञात कीजिए |

हल : ∠GED = 126°
AB || CD दिया है |
∴ ∠AGE = ∠GED (एकांतर कोण)
अत : ∠AGE = 126°
∠GED = 126°
∠GED = ∠GEF + ∠FED = 126°
∠GEF + ∠FED = 126°
∠GEF + 90° = 126° (∵ EF ⊥ CD ∴ ∠FED = 90°)
∠GEF = 126° – 90°
∠GEF = 36°
अब,
∠AGE + ∠FGE = 180° ( रैखिक युग्म )
126° + ∠FGE = 180°
∠FGE = 180° – 126°
∠FGE = 54°
∠AGE = 126°, ∠GEF = 36° और ∠FGE = 54°

Ex 6.2 Class 9 गणित Q4.आकृति 6.31 में, यदिPQ || ST, ∠ PQR = 110° और ∠ RST = 130° है, तो ∠QRS ज्ञात कीजिए |

[संकेत : बिंदु R से होकर ST के समांतर एक रेखा खिचिए|]
हल :
रचना : बिंदु R से होकर XY || ST खिंचा |
PQ || ST ………….. (1) दिया है |

XY || ST ……………..(2) रचना से
समी० (1) तथा (2) से
PQ || XY …………….. (3)
XY || ST रचना से
∠RST + ∠SRY = 180° (एक ही ओर के अंत:कोणों का योग )
⇒ 130° + ∠SRY = 180°
⇒ ∠SRY = 180° – 130°
⇒ ∠SRY = 50°
PQ || XY …………….. (3) से
∴ ∠PQR = ∠QRY (एकांतर कोण)
110° = ∠QRS + ∠SRY
110° = ∠QRS + 50°
∠QRS = 110° – 50°
∠QRS = 60°

Ex 6.2 Class 9 गणित Q5 आकृति6.32 में, यदि AB || CD, ∠ APQ = 50° और ∠ PRD = 127° है ,तो x और Y ज्ञात कीजिए |

हल: ∠ APQ = 50° और ∠ PRD = 127°
AB || CD दिया है |
∴ ∠APQ = ∠PQR ( एकांतर कोण )
या x = 50°
पुन: ∠APR = ∠PRD ( एकांतर कोण )
या y + 50° = 127°
या y = 127° – 50°
या y = 77°
x = 50° और y = 77°

Ex 6.2 Class 9 गणित Q6.आकृति 6.33 में ,PQ और RS दो है जो एक दूसरे के सामान्तर रखे गए है | या आपतन किरण (incident ray )AB,दर्पण PQ से B पर टकराती है और प्रवार्तित किरण (reflected ray ) पथ BC पर टकराती है तथा पुनः CDके अनुदिश प्रवार्तित हो जाती है | सिद्ध कीजिए कि AB || CD है |

हल:
दिया है: PQ || RS और AB एक आपतन कोण है, CD एक परावर्तित किरण है |
सिद्ध करना है : AB || CD
रचना :
BM ⊥ PQ और CN ⊥ RS खिंचा |

प्रमाण :
BM ⊥ PQ and CN ⊥ RS
∴ BM || CM और BC एक तिर्यक रेखा है |
∴ ​∠2 = ∠ 3 ………… (1) (एकांतर अंत:कोण )
जबकि हम जानते है कि –
आपतन कोण = परावर्तन कोण, जहाँ BM और CN अभिलंब हैं |
∴ ​∠1 = ∠ 2 ………….. (2)
इसीप्रकार,
∴ ​∠3 = ∠ 4 ………….. (3)
समी० (1), (2) और (3) से हम पाते है |
∠1 = ∠ 4 ……………. (4)
समी० (1) तथा (4) को जोड़ने पर
∠1 + ∠2 = ∠ 3 + ∠ 4
∠ABC = ∠ BCD (एकांतर अत: कोण)
इसलिए, AB || CD
Proved.

प्रश्नावली 6.3

Ex 6.3 Class 9 गणित Q1. आकृति 6.39 में, Δ PQR की भुजाओं QP और RQ को क्रमश: बिन्दुओं S और T तक बढाया गया है | यदि ∠SPR = 135° है और ∠ PQT = 110° है, तो ∠ PRQ ज्ञात कीजिए |

हल :
∠QPR + ∠SPR = 180° ( रैखिक युग्म )
⇒ ∠QPR + 135° = 180°
⇒ ∠QPR = 180° – 135°
⇒ ∠QPR = 45°
इसीप्रकार,
∠PQR + ∠TQP = 180° ( रैखिक युग्म )
⇒ ∠PQR + 110° = 180°
⇒ ∠PQR = 180° – 110°
⇒ ∠PQR = 70°
अब त्रिभुज PQR में,
∠QPR + ∠PQR + ∠PRQ = 180°
45° + 70° + ∠PRQ = 180°
115° + ∠PRQ = 180°
∠PRQ = 180° – 115°
∠PRQ = 65°

Ex 6.3 Class 9 गणित Q2. दी गई आकृति में, ∠X = 62° और ∠XYZ = 54° है। यदि YO और ∠O क्रमशः ∆XYZ के ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं, तो ∠OZY और ∠YOZ ज्ञात कीजिए।

हल-
∆XYZ में,
∠X + ∠XYZ + ∠XZY = 180° (त्रिभुज के अन्त:कोणों का योग 180° होता है।)
62° + 54° + ∠XZY = 180°
∠XZY = 180° – (62° + 54°) = 180° – 116° = 64°
YO, ∠XYZ का और ∠O, ∠XZY का समद्विभाजक है।
∠OYZ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠XY∠ और ∠OZY = \(\frac { 1 }{ 2 }\) XZY
∠OYZ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 54° और ∠OZY = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 64०
∠OYZ = 27° और ∠OZY = 32°
तब ∆OYZ में,
∠OYZ + ∠OZY + ∠YOZ = 180° (त्रिभुज के सभी अन्त:कोणों का योग 180° होता है।)
27° + 32° + ∠YOZ = 180°
∠YOZ = 180° – (27° + 32°) = 180° – 59°
∠YOZ = 121°
∠OZY = 32° तथा ∠YOZ = 121°

Ex 6.3 Class 9 गणित Q3. दी गई आकृति में, यदि AB || DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53° है, तो ∠DCE ज्ञात कीजिए।

हल-
AB || DE और ऋजु रेखा AE इन्हें काटती है। तब,
∠BAE = ∠AED (एकान्तर कोण)
परन्तु ∠BAE = ∠BAC और ∠AED = ∠CED
∠BAC = ∠CED या 35° = ∠CED
∠CED = 35°
तब ΔCDE में,
∠CDE + ∠CED + ∠DCE = 180° (त्रिभुज के सभी अन्त:कोणों को योग 180° होता है)
53° + 35° + ∠DCE = 180°
∠DCE = 180° – (53° + 35°) = 180° – 88°= 92°
अतः ∠DCE = 92°

Ex 6.3 Class 9 गणित Q4. दी गई आकृति में, यदि रेखाएँ PQ और RS बिन्दु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75° है, तो ∠SQT ज्ञात कीजिए।

हल-
ΔPRT में,
∠PRT + ∠RPT + ∠PTR = 180° (त्रिभुज के अन्त:कोणों का योग 180° होता है)
40° + 95° + ∠PTR = 180°
∠PTR = 180° – (95° + 40°) = 180° – 135°
∠PTR = 45°
ऋजु रेखाएँ P और RS परस्पर बिन्दु T पर प्रतिच्छेद करती हैं।
∠QTS = ∠PIR (शीर्षाभिमुख कोण)
∠QTS = 45° (∠PTR = 45°)
अब ΔQTS में,
∠QTS + ∠TSQ + ∠SQT = 180° [त्रिभुज के सभी अन्तः कोणों का योग 180° होता है।]
45° + 75° + ∠SQT = 180°
∠SQT = 180° – (45° + 75°) = 180° – 120° = 60°
∠SQT = 60°

Ex 6.3 Class 9 गणित Q5. दी गई आकृति में, यदि PQ ⊥ PS, PQ || SR, ∠SQR = 28° और ∠QRT = 65° है, तो x और y का मान ज्ञात कीजिए।

हल-
ΔQRS में,
∠SQR + ∠QSR = बहिष्कोण ∠QRT
28° + ∠QSR = 65°
∠∠QSR = 65° – 28° = 37°
अब :: PQ || SR और QS एक तिर्यक प्रतिच्छेदी रेखा है,
∠PQS = ∠QSR (एकान्तर कोण)
x = 37° (∠PQS = x, ∠QSR = 37°)
PQ ⊥ PS
∠P = 90°
ΔPQS में, ∠P + ∠PQS + ∠PSQ = 180° [त्रिभुज के तीनों अन्त:कोणों का योग 180° होता है।]
90° + x + y = 180°
⇒ x + y = 90°
⇒ 37° + y = 90°
⇒ y = 90° – 37°
⇒ y = 53°
अतः x = 37° तथा y = 53°

Ex 6.3 Class 9 गणित Q6. दी गई आकृति में, ΔPQR की भुजा QR को P बिन्दु S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠PQR और ∠PRS के समद्विभाजक बिन्दु Tपर मिलते हैं,
तो सिद्ध कीजिए कि ∠QTR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) QPR है।

हल-
ΔPQR में,
∠PQR + ∠PRQ + ∠QPR = 180° ……..(1)
तथा ΔTQR में,
∠TQR + ∠QRT + ∠QTR = 180° ……….(2)
समीकरण (1) व (2) से,
∠ TQR + ∠QRT + ∠QTR = ∠PQR + ∠PRQ + ∠QPR
∠TQR + (∠ PRQ + ∠PRT) + ∠QTR = ∠PQR + ∠PRQ + ∠QPR [∠QRT = ∠PRQ+ ∠PRT]
∠TQR + ∠ PRQ + ∠PRT + ∠QTR = ∠PQR + ∠PRQ + ∠QPR
∠TQR + ∠PRT + ∠QTR = ∠ PQR + ∠QPR …(3)
चूँकि QT, ∠PQR का समद्विभाजक है।
∠TQR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠PQR या PQR = 2 ∠TQR ……….(4)
समीकरण (3) व समीकरण (4) से,
∠TQR + ∠PRT + ∠QTR = 2 ∠TQR + ∠QPR
∠ PRT + ∠QTR = ∠TQR + ∠QPR …….(5)
चूँकि RT, ∠ PRS का समद्विभाजक है।
∠PRT = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠PRS
और ∠PRS, ΔPQR का बहिष्कोण है।
∠PRS = ∠PQR + ∠QPR
∠PRS = 2 ∠TQR + ∠QPR ……(6)
∠PRT = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠PRS = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (2 ∠TQR + ∠QPR)
∠PRT = ∠TQR + \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠QPR
समीकरण (5) में से समीकरण (7) को घटाने पर,
∠QTR = ∠QPR – \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠QPR
∠QTR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠QPR
इति सिद्धम.

Chapter 1 Number System (संख्या पद्धति)
Chapter 2 Polynomials (बहुपद)
Chapter 3 Coordinate Geometry (निर्देशांक ज्यामिति)
Chapter 4 Linear Equations in Two Variables (दो चरों वाले रैखिक समीकरण)
Chapter 5 Introduction to Euclids Geometry (यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय)
Chapter 6 Lines and Angles (रेखाएँ और कोण)
Chapter 7 Triangles (त्रिभुज)
Chapter 8 Quadrilaterals (चतुर्भुज)
Chapter 9 Areas of Parallelograms and Triangles (समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल)
Chapter 10 Circles (वृत)
Chapter 11 Constructions (रचनाएँ)
Chapter 12 Heron’s Formula (हीरोन का सूत्र)
Chapter 13 Surface Areas and Volumes (पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन)
Chapter 14 Statistics (सांख्यिकी)
Chapter 15 Probability (प्रायिकता)