NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 Polynomials (बहुपद)

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी समाधान

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 Question answer

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Class 10 Maths Polynomials (बहुपद) Chapter 2 Question answer

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Class 10 Maths Chapter 2 Polynomials (बहुपद) Questions and answers

प्रश्नावली 2.1

Ex 2.1 Class 10 गणित Q1. किसी बहुपद p(x) के लिए, y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृति 2.10 में दिया गया है | प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शुन्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए |

Solution (i):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 0; (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को नहीं काटती है )

Solution (ii):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 1; (क्योंकि ग्राफ x अक्ष को 1 बार काटती है )

Solution (iii):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 3;

Solution (iv):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 2;

Solution (v):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 4;

Solution (vi):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 3;

प्रश्नावली 2.2

Ex 2.2 Class 10 गणित Q1. निम्न द्विघात बहुपदों के शुन्यक ज्ञात कीजिए और शुन्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए |

(i) x² – 2x – 8

a = 1, b = – 2, और c = – 8

Ex 2.2 Class 10 गणित Q2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शुन्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ हैं :

प्रश्नावली 2.3

Ex 2.3 Class 10 गणित Q1. विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :

(i) p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3, g(x) = x² – 2

(ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 – x

(iii) p(x) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2 – x²

हल : (i) p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3, g(x) = x² – 2

भागफल q(x) = x – 3 और शेषफल = 7x – 9 है |

हल : (ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 – x

भागफल q(x) = x² + x – 3 और शेषफल = 8 है |

हल : (iii) p(x) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2 – x²

भागफल q(x) = – x² – 2 और शेषफल = – 5x + 10 है |

Ex 2.3 Class 10 गणित Q2. पहले बहुपद से दुसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय का एक गुणनखंड है :

(i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12

(ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2

(iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1

हल : (i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12

चूँकि शेषफल r(x) = 0 है |

अत: t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 का एक गुणनखंड है |

हल : (ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2

चूँकि शेषफल r(x) = 0 है |

अत: x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 का एक गुणनखंड है |

हल : (iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1

चूँकि शेषफल r(x) = 2 है |

अत: x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 का एक गुणनखंड नहीं है |

हल :

दिया है : p(x) = 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5

अब 3x² – 5 से 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 में भाग देने पर

अत: p(x) = (3x² – 5) (x² + 2x + 1)

अब, x² + 2x + 1 को गुणनखंड कर शुन्यक ज्ञात करने पर –

Ex 2.3 Class 10 गणित Q4. यदि x³ – 3x² + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: x – 2 और – 2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए ।

हल :

दिया है : भाज्य p(x) = x³ – 3x² + x + 2

भागफल q(x) = x – 2,

शेषफल r(x) = – 2x + 4

भाजक g(x) = ?

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

p(x) = g(x) × q(x) + r(x)

x³ – 3x² + x + 2 = g(x) (x – 2) + (- 2x + 4)

x³ – 3x² + x + 2 + 2x – 4 = g(x) (x – 2)

g(x) (x – 2) = x³ – 3x² + 3x – 2

अत: भाजक g(x) = x² – x + 1 है |

Ex 2.3 Class 10 गणित Q5. बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथम को संतुष्ट करते हों तथा

(i) घात p(x) = घात q(x) हो

(ii) घात q(x) = घात r(x) हो

(iii) घात r(x) = 0 हो

हल :

युक्लिड विभाजन एल्गोरिथम से

p(x) = g(x) × q(x) + r(x) जहाँ q(x) ¹ 0 हो

(i) घात p(x) = घात q(x) हो

भाज्य p(x) और भागफल q(x) की घात सामान तभी हो सकता है जब भाजक g(x)की घात 0 अर्थात कोई संख्या हो |

उदाहरण : माना p(x) = 2x² – 6x + 3

और माना g(x) = 2

भाग देने पर

p(x) = 2x² – 6x + 2 + 1

= 2(x² – 3x + 1) + 1

अब 2(x² – 3x + 1) + 1 को p(x) = g(x) × q(x) + r(x) से तुलना करने पर हम पाते हैं :

अत: q(x) = x² – 3x + 1 और r(x) = 1

इससे घात p(x) = घात q(x) प्राप्त होता है |

(ii) घात q(x) = घात r(x) हो

हल : यह स्थिति तब आती है जब p(x) और g(x) का घात सामान हो जैसे –

माना p(x) = 2x² + 6x + 7 और g(x) = x² + 3x + 2

भाग देने पर : q(x) = 2 और r(x) = 3

अत: घात q(x) = घात r(x) है |

(iii) घात r(x) = 0 हो

हल : r(x) = 0 तब होता है जब p(x), g(x) से पूर्णत: विभाजित हो :

माना p(x) = x² – 1 और g(x) = x + 1

विभाजित करने पर

q(x) = x – 1 और r(x) = 0 प्राप्त होता है |

प्रश्नावली 2.4

Ex 2.4 Class 10 गणित प्र. 1. सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध् को भी सत्यापित कीजिए:
(i) 2x³ + x² – 5x + 2; \(\frac { 1 }{ 2 }\), 1, -2;
(ii) x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1, 1

Ex 2.4 Class 10 गणित प्र० 2. एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7, -14 हों।

Ex 2.4 Class 10 गणित प्र० 3. यवि बहुपव x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों, तो a और b ज्ञात कीजिए।

Ex 2.4 Class 10 गणित प्र० 4. यदि बहुपद x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± √3 हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।

Ex 2.4 Class 10 गणित प्र० 5. यदि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x² – 2x + k से भाग दिया जाए और शेषफल x + a आता हो, तो k तथा a ज्ञात कीजिए।

NCERT Solutions for Class 10 Maths in Hindi

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NCERT Solutions for Class 10

कक्षा 10 के गणित के लिए सीबीएसई एनसीईआरटी समाधान छात्रों को आत्मविश्वास के साथ सीबीएसई कक्षा 10 वीं परीक्षा करने के लिए पर्याप्त अभ्यास प्राप्त करने में मदद करेगा।